Question

（本题满分14分）
已知函数
（1）若函数在上为增函数，求实数的取值范围
（2）当时，求在上的最大值和最小值
（3）求证：对任意大于1的正整数，恒成立

Answer 1

（1）；（2），；（3）见解析。

试题分析：（1）先求出函数的导函数，把函数f（x）在[1，+∞）上为增函数转化为导函
数大于等于0恒成立问题，再转化为关于正实数a的不等式问题即可求出正实数a的取值范
围；（2）先求出函数的导函数以及导数为0的根，进而求出其在[，2]上的单调性即可
求f（x）在[，2]上的最大值和最小值．（3）运用第一问的结论f(x)>0，放缩法得打对
数式的不等式，进而的求和证明。
解：（1）由已知得，依题意得对任意恒成立
即对任意恒成立，而
（2）当时，，令，得，若时，，若时，，故是函数在区间上的唯一的极小值，也是最小值，即，而，
由于，则
（3）当时，由（1）知在上为增函数
当，令，则，所以
即
所以
各式相加得
值与最小值是通过比较函数在（a，b）内所有极值与端点函数f（a），f（b） 比较而得到
的，以及利用单调性确定参数范围，不等式的恒成立的证明。
点评：解决该试题的关键是第一问中根据单调递增性，说明了在给定区间的导数恒大于等于
零，得到参数的取值范围。第二问，先求解极值和端点值，比较大小得到结论。