Question

设数列{an}满足a1=3，an+1=an2﹣2nan+2，n∈N*．

（1）求出a2，a3，a4的值，并猜想数列{an}的通项公式（不需证明）；

（2）记Sn为数列{an}的前n项和，试求使得2n＞Sn成立的最小正整数n，并给出证明．

 

Answer 1

（1）a2＝5，a3＝7，a4＝9，猜想an＝2n＋1；（2）n＝6．

【解析】

试题分析：

解题思路：（1）先由递推公式求，再猜想通项公式；（2）先进行猜想验证，再利用数学归纳法进行证明.

规律总结：归纳推理是合情推理的一种，对数学定理、结论的求解起到非常重要的作用；此类题型的关键是通过已知的项，发现内在的规律与联系，进而提出猜想，再利用数学归纳法进行证明.

试题解析：（1）a2＝5，a3＝7，a4＝9，猜想an＝2n＋1.

（2）Sn＝＝n2＋2n，

使得成立的最小正整数n＝6.

下证：n≥6（n∈N*）时都有2n>n2＋2n.

①n＝6时，26>62＋2×6，即64>48成立；

②假设n＝k（k≥6，k∈N*）时，2k>k2＋2k成立，那么2k＋1＝2·2k>2（k2＋2k）＝k2＋2k＋k2＋2k>k2＋2k＋3＋2k＝（k＋1）2＋2（k＋1），即n＝k＋1时，不等式成立；

由①、②可得，对于所有的n≥6（n∈N*）

都有2n>n2＋2n成立.

考点：1.归纳推理；2.数学归纳法.