Question

已知数列，,其中为实数，为正整数.

（Ⅰ）证明：对任意实数，数列不是等比数列；

（Ⅱ）证明：当

（Ⅲ）设为数列的前n项和，是否存在实数，使得对任意正整数n，都有

     若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.

Answer 1

本小题主要考查等比数列的定义、数列示和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力.

(Ⅰ)证明：假设存在一个实数，使｛a_n｝是等比数列，则有,即

（）²=²矛盾.

所以｛a_n｝不是等比数列.

（Ⅱ）证明：∵

                 

                                                                   

又由上式知

故当数列｛b_n｝是以为首项，为公比的等比数列.

（Ⅲ）当由（Ⅱ）得于是

      

         当时，，从而上式仍成立.

         要使对任意正整数n , 都有

          即

          令

          当n为正奇数时，当n为正偶数时，

          

           于是可得

           综上所述，存在实数，使得对任意正整数，都有

          的取值范围为