题目内容

（2008•奉贤区模拟）我们规定：对于任意实数A，若存在数列{an}和实数x（x≠0），使得A=a1+a2x+a3x2+…+anxn-1，则称数A可以表示成x进制形式，简记为：A=
.
x\～(a1)(a2)(a3)…(an-1)(an)
．如：A=
.
2\～(-1)(3)(-2)(1)
，则表示A是一个2进制形式的数，且A=-1+3×2+（-2）×22+1×23=5．
（1）已知m=（1-2x）（1+3x2）（其中x≠0），试将m表示成x进制的简记形式．
（2）若数列{an}满足a1=2，ak+1=
1
1-ak
，k∈N*，bn=
.
2\～(a1)(a2)(a3)…(a3n-2)(a3n-1)(a3n)
（n∈N*），是否存在实常数p和q，对于任意的n∈N*，bn=p•8n+q总成立？若存在，求出p和q；若不存在，说明理由．
（3）若常数t满足t≠0且t＞-1，dn=
.
t\～(
C
1
n
)(
C
2
n
)(
C
3
n
)…(
C
n-1
n
)(
C
n
n
)
，求
lim
n→∞
dn
dn+1
．
分析：（1）先将m=（1-2x）（1+3x2）展开，再根据定义，将m表示成x进制的简记形式．
（2）由题意，知{an}是周期为3的数列．假设存在实常数p和q，对于任意的n∈N*，bn=p•8n+q总成立，则由定义可得p=
2
7
，q=-
2
7
．
（3）先求dn=
C
1
n
+
C
2
n
t+
C
3
n
t2+
C
4
n
t3…+
C
n
n
tn-1=
C
1
n
t+
C
2
n
t2+
C
3
n
t3+…+
C
n
n
tn
t
=
[
C
0
n
+
C
1
n
t+
C
2
n
t2+
C
3
n
t3+…+
C
n
n
tn]-1
t
=
(1+t)n-1
t
，再求极限．
解答：解：（1）m=（1-2x）（1+3x2）=1-2x+3x2-6x3（1分）
则m=
.
x\～(1)(-2)(3)(-6)
（3分）
（2）a2=-1，a3=
1
2
，a4=2，a5=-1，a6=
1
2

∵an+1=
1
1-an
∴an+2=
1
1-an+1
=
1
1-
1
1-an
=
1-an
-an

∴an+3=
1
1-an+2
=
1
1+
1-an
an
=an（n∈N*），知{an}是周期为3的数列     （6分）
假设存在实常数p和q，对于任意的n∈N*，bn=p•8n+q总成立，则：bn=
.
2\～(a1)(a2)(a3)…(a3n-2)(a3n-1)(a3n)

=[2+(-1)×2+
1
2
×22]+[2×23+(-1)×24+
1
2
×25]+…+[2×23n-3+(-1)×23n-2+
1
2
×23n-1]=[2+(-1)×2+
1
2
×22]×(1+23+26+…+23n-3)=2×
1-8n
1-8
=
2
7
×8n-
2
7

∴p=
2
7
，q=-
2
7
．
即存在实常数p=
2
7
，q=-
2
7
，对于任意的n∈N*，bn=
2
7
•8n-
2
7
总成立    （10分）
（3）dn=
C
1
n
+
C
2
n
t+
C
3
n
t2+
C
4
n
t3…+
C
n
n
tn-1=
C
1
n
t+
C
2
n
t2+
C
3
n
t3+…+
C
n
n
tn
t
=
[
C
0
n
+
C
1
n
t+
C
2
n
t2+
C
3
n
t3+…+
C
n
n
tn]-1
t
=
(1+t)n-1
t
（14分）
∴
lim
n→∞
dn
dn+1
=
lim
n→∞
(1+t)n-1
(1+t)n+1-1
=
1
1+t
|1+t＞1
1|1+t＜1
，即
lim
n→∞
dn
dn+1
=
1
1+t
，t＞0
1，-1＜t＜0
（18分）
点评：本题以新定义为载体，考查数列及极限，关键是理解新定义，合理转化，需要计算细心．
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x2+x-2
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.
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．如：A=
.
2\～(-1)(3)(-2)(1)
，则表示A是一个2进制形式的数，且A=-1+3×2+（-2）×22+1×23=5．
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1
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.
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2
7
•8n-
2
7
．
（3）若常数t满足t≠0且t＞-1，dn=
.
t\～(
C
1
n
)(
C
2
n
)(
C
3
n
)…(
C
n-1
n
)(
C
n
n
)
，求
lim
n→∞
dn
dn+1
．

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