Question

已知实数列{a_n}是公比小于1的等比数列，其中a₂=4，且a₁，a₂+1，a₃成等差数列．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）数列{a_n}的前n项和记为S_n，求

lim

n→∞

S_n．

Answer 1

分析：（I）设出公比，利用a₁，a₂+1，a₃成等差数列，a₂=4，求出首项与公比，即可求数列{a_n}的通项公式；
（II）利用等比数列的公比

1

2

，直接求出数列{a_n}的前n项和

lim

n→∞

S_n．

解答：解：（Ⅰ）设等比数列{a_n}的公比为q（q∈R），
因为a₂=4，所以a₁q=4…①…（2分）
又a₁，a₂+1，a₃成等差数列，所以a₁+a₃=2（a₂+1）=10，
即a₁+a₁q²=10…②…（5分）
由①②以及实数列{a_n}是公比小于1的等比数列，得a₁=8，q=

1

2

．
故an=8•(

1

2

)n-1．…（8分）
（Ⅱ）因为数列{a_n}是公比q=

1

2

．
因为q=

1

2

∈(0，1)，
所以

lim

n→∞

S_n=

a1

1-q

=16．…（12分）

点评：本题考查等比数列的通项公式的求法，数列的极限的求法，考查计算能力．