Question

已知：正数数列{a_n}的通项公式a_n=

2×3n+2

3n-1

（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的最大项；
（2）设b_n=

an+p

an-2

，确定实常数p，使得{b_n}为等比数列；
（3）（理）数列{C_n}，满足C₁＞-1，C₁≠

2

，C_n+1=

Cn+p

Cn+1

，其中p为第（2）小题中确定的正常数，求证：对任意n∈N*，有C_2n-1＞

2

且C_2n＜

2

或C_2n-1＜

2

且C_2n＞

2

成立．
（文）设{b_n}是满足第（2）小题的等比数列，求使不等式-b₁+b₂-b₃+…+（-1）ⁿb_n≥2010成立的最小正整数n．

Answer 1

分析：（1）首先对数列{a_n}的通项公式进行变形，由an=2+

4

3n-1

分析a_n随n的变化规律再结合n∈N^*即可获得问题的解答；
（2）结合条件充分利用等比数列的性质：等比中项即可获得含参数的方程，解方程即可获得参数的值，最后要注意参数的验证；
（3）对（理）首先结合（2）的结论对条件进行化简，然后对化简结果cn+1=

cn+2

cn+1

(c1＞-1，c1≠

2

)结合结论进行化简，
利用数学归纳法可以证明对n∈N*，cn≠

2

，且(cn+1-

2

)(cn-

2

)=

(1- 2 )(cn- 2 )

cn+1

＜0，进而即可获得问题的解答；
对（文）首先要结合p的取值不同进行分类讨论，其中左边利用等比数列的前n项和公式计算即可．注意下结论．

解答：解：（1）a_n=2+

4

3n-1

，随n的增大而减小，
∴{a_n}中的最大项为a₁=4．
（2）b_n=

2+ 4 3n-1 +p

4 3n-1

=

(2+p)(3n-1)+4

4

=

(2+p)•3n+(2-p)

4

，
{b_n}为等比数列
∴b²_n+1-b_nb_n+2=0（n∈N*）∴[（2+p）3ⁿ⁺¹+（2-p）]²-[（2+p）3ⁿ+（2-p）][（2+p）3ⁿ⁺²+（2-p）]=0（n∈N*）
∴（4-p²）（2•3ⁿ⁺¹-3ⁿ⁺²-3ⁿ）=0（n∈N*）
∴-（4-p²）•3ⁿ•4=0（n∈N*）
∴p=±2，
反之当p=2，b_n=3ⁿ时，{b_n}为等比数列；p=-2，b_n=1时，{b_n}为等比数列
∴当且仅当p=±2时，{b_n}为等比数列．
（3）（理）按题意c_n+1=

cn+2

cn+1

(c1＞-1，c1≠

2

)
∵c₁＞-1，c₂＞0，进而当n≥2时，c_n＞0
c_n+1-

2

=

(1- 2 )cn+2- 2

cn+1

=

(1- 2 )(cn- 2 )2

cn+1

∵c₁≠

2

，
∴由数学归纳法，对n∈N*，c_n≠

2

，且(cn+1-

2

)(cn-

2

)=

(1- 2 )(cn- 2 )

cn+1

＜0
特别有(c2n-1-

2

)(c2n-

2

)＜0（n∈N*）
∴c_2n-1＞

2

且c_2n＜

2

或c_2n-1＜

2

且c_2n＞

2

．
（文）
若p=-2，则b_n=1（n∈N*）-b₁+b₂-+（-1）ⁿb_n≥2010的n不存在；
若p=2，则b_n=3ⁿ（n∈N*）-b₁+b₂-+（-1）ⁿb_n≥2010?

(-3)[1-(-3)n]

1-(-3)

≥2010
等价于（-3）ⁿ-1＞2680，
等价于（-3）ⁿ＞2681，
∴n为偶数，∵3⁶=729，3⁸=6561
∴当p=2时，n的最小值为8；当p=-2时，满足条件的n不存在．

点评：本题考查的是数列与不等式的综合问题．在解答的过程当中充分体现了数列与函数的思想、数学归难的思想以及问题转化的思想．值得同学们体会和反思．