Question

17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a²+b²=c²+$\sqrt{3}$ab．
（Ⅰ）求角C的值；
（Ⅱ）若b=2，c=1，求△ABC的面积；
（Ⅲ）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求$\sqrt{3}$a-b的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由余弦定理即可得到答案；
（Ⅱ）由正弦定理可求出B的值，即可求出A的值，再根据三角形的面积公式即可求出；
（Ⅲ）由正弦定理可得a=2sinA，b=2sinB，即可得到$\sqrt{3}$a-b=2$\sqrt{3}$sinA-2sinB=2sin（A-$\frac{π}{6}$），根据正弦函数的图象和性质即可求出答案．

解答 解：（Ⅰ）由余弦定理可得c²=a²+b²-2abcosC，且a²+b²=c²+$\sqrt{3}$ab，
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{\sqrt{3}ab}{2ab}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵0＜C＜π，
∴C=$\frac{π}{6}$，
（Ⅱ）由正弦定理可得，$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$，
∴sinB=$\frac{2×\frac{1}{2}}{1}$=1，
∴B=$\frac{π}{2}$
∴A=$\frac{π}{3}$
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$×2×1×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（Ⅲ）由正弦定理可得，$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=$\frac{1}{\frac{1}{2}}$=2，
∴a=2sinA，b=2sinB，
∴$\sqrt{3}$a-b=2$\sqrt{3}$sinA-2sinB=2$\sqrt{3}$sinA-2sin（$\frac{5π}{6}$-A）=$\sqrt{3}$sinA-cosA=2sin（A-$\frac{π}{6}$），
∵0＜A＜$\frac{5π}{6}$，
∴-$\frac{π}{6}$＜A＜$\frac{2π}{3}$，
∴-1＜2sin（A-$\frac{π}{6}$）≤2，
∴$\sqrt{3}$a-b的取值范围为（-1，2]

点评 本题考查了正弦定理，余弦定理和三角形的面积公式，以及两角和的正弦公式和正弦函数的图象和性质，属于中档题．