Question

20．如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别为AB与BB₁的中点．
（Ⅰ）求证：EF⊥平面A₁D₁B；
（Ⅱ）求二面角F-DE-C大小．

Answer 1

分析 （I）要证EF⊥平面A₁D₁B，只需证A₁D₁⊥EF，A₁B⊥EF
（II）要求二面角F-DE-C大小的正切值，关键是找出二面角的平面角．延长DE、CB交于N，过B作BM⊥EN交于M，连FM，则∠FMB为二面角F-DE-C的平面角，故可求．

解答 证明：（I）∵A₁D₁⊥平面A₁B₁BA，EF?平面A₁B₁BA，
∴A₁D₁⊥EF
∵A₁B⊥AB₁，EF∥AB₁，
∴A₁B⊥EF
∴EF⊥平面A₁D₁B；
解：（II）延长DE、CB交于N，∵E为AB中点，∴△DAE≌△NBE
过B作BM⊥EN交于M，连FM，
∵FB⊥平面ABCD
∴FM⊥DN，∴∠FMB为二面角F-DE-C的平面
设AB=a，则BM=$\frac{BE•BN}{EN}$=$\frac{a}{\sqrt{5}}$    又BF=$\frac{a}{2}$，
∴tan∠FMB=$\frac{FB}{BM}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
即二面角F-DE-C大小为：arctan$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题以正方体为载体，考查线面垂直，考查面面角，关键是作出二面角的平面角．