Question

12．设S_n为数列{a_n}的前n项和，且S_n=n²+n+1，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）运用数列通项和前n项和的关系：当n=1时，a₁=S₁；当n＞1时，a_n=S_n-S_n-1，计算即可得到所求通项公式；
（2）求得当n=1时，T₁=$\frac{1}{12}$；当n≥2时，$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2n•2（n+1）}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），由数列的求和方法：裂项相消求和，化简即可得到所求和．

解答 解：（1）当n=1时，a₁=S₁=1+1+1=3；
当n≥2时，S_n=n²+n+1，
S_n-1=（n-1）²+（n-1）+1，
两式相减得：a_n=S_n-S_n-1=n²+n-（n-1）²-（n-1）
=（2n-1）+1=2n．
但a₁=3不符合上式，
因此a_n=$\left\{\begin{array}{l}{3，n=1}\\{2n，n≥2}\end{array}\right.$；
（2）当n=1时，T₁=$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$=$\frac{1}{3•4}$=$\frac{1}{12}$；
当n≥2时，$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2n•2（n+1）}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
前n项和T_n=$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$
=$\frac{1}{12}$+$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{1}{12}$+$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{5}{24}$-$\frac{1}{4（n+1）}$．
且T₁=$\frac{1}{12}$符合上式，
因此T_n=$\frac{5}{24}$-$\frac{1}{4（n+1）}$．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列通项和前n项和的关系：当n=1时，a₁=S₁；当n＞1时，a_n=S_n-S_n-1，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．