Question

7．设圆x²+y²=12与抛物线x²=4y相交于A，B两点，F为抛物线的焦点，若过点F且斜率为1的直线l与抛物线和圆交于四个不同的点，从左至右依次为P₁，P₂，P₃，P₄，则|P₁P₂|+|P₃P₄|的值5$\sqrt{2}$，若直线m与抛物线相交于M，N两点，且与圆相切，切点D在劣弧$\widehat{AB}$上，则|MF|+|NF|的取值范围是[2+4$\sqrt{3}$，22]．

Answer 1

分析 由圆的方程和抛物线的方程联解，求得交点A、B的坐标，从而判断直线l与圆交于P₁、P₃，直线l与抛物线交于P₂、P₄，另|P₁P₂|+|P₃+P₄|的表达式用P₁，P₂，P₃，P₄的四点的横坐标表示，然后根据根与系数的关系，代入表达式，即解；先设直线m的方程y=k+b，交点M、N坐标，再用点M、N纵坐标表示出|MF|+|NF|，由与圆相切，得到k与b的关系，消去k用b表示|MF|+|NF|，即得到关于b的一个函数，由k_OA=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，k_OB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，得到k的范围，由此求得b的范围，再将b的代入|MF|+|NF|的函数关系式中并求出其范围．

解答 解：由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=12}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=2\sqrt{2}}\\{y=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2\sqrt{2}}\\{y=2}\end{array}\right.$，
即A（-2$\sqrt{2}$，2），B（2$\sqrt{2}$，2）．
∵点F坐标为（0，1），∴k_FB=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，∴k_l＞k_FB，
所以直线l与圆交于P₁、P₃两点，与抛物线交于P₂、P₄两点，
设P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），P₃（x₃，y₃），P₄（x₄，y₄）
把直线l方程：y=x+1代入x²=4y，得x²-4x-4=0，∴x₂+x₄=4；
把直线l方程：y=x+1代入x²+y²=12，得2x²+2x-11=0，∴x₁+x₃=-1
∴|P₁P₂|+|P₃P₄|=$\sqrt{2}$[（x₂-x₁）+（x₄-x₃）]=$\sqrt{2}$[（x₂+x₄）-（x₁+x₃）]=5$\sqrt{2}$
所以|P₁P₂|+|P₃P₄|的值等于5$\sqrt{2}$．
设直线m的方程为y=k+b（b＞0），
代入抛物线方程得x²-4kx-4b=0，
设点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁+x₂=4k，
则y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2b=4k²+2b，
∵直线m与该圆相切，∴$\frac{b}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{12}$，即${k}^{2}=\frac{{b}^{2}}{12}-1$，
又|MF|=y₁+1，|NF|=y₂+1，
∴|MF|+|NF|=y₁+y₂+2=4k²+2b+2=$\frac{1}{3}（b+3）^{2}-5$
∵k_OA=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，k_OB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴分别过A、B的圆的切线的斜率为$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$．
∴k∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，∴0≤k²≤2，∴0≤$\frac{{b}^{2}}{12}$-1≤12，
∵b＞0，∴b∈[2$\sqrt{3}$，6]
所以|MF|+|NF|的取值范围为[2+4$\sqrt{3}$，22]．
故答案为：5$\sqrt{2}$；[2+4$\sqrt{3}$，22]．

点评 此题考查用坐标法解决圆锥曲线问题，在解题过程中还考查了弦长公式的运用，同时还考查学生的计算技巧中设而不求的方法．