Question

（本小题满分14分）已知函数（为常数，）.

（Ⅰ）若是函数的一个极值点，求的值；

（Ⅱ）求证：当时，在上是增函数；

（Ⅲ）若对任意的（1，2），总存在，使不等式成立，求实数的取范围.

 

Answer 1

【答案】

 

（Ⅰ）满足条件；（Ⅱ）在上是增函数；（Ⅲ）实数的取值范围为.

【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。以及不等是的求解，和函数单调性的判定的综合运用。

（1）因为

由已知，得即， 得到a的值，

（2）当时， 

当时，.又，故在上是增函数

（3）当时，由（Ⅱ）知，在上的最大值为

于是问题等价于：对任意的，不等式恒成立.

利用构造函数得到结论。

解：……………1分

（Ⅰ）由已知，得即，……3分

经检验，满足条件.……………………………………4分

（Ⅱ）当时，…………5分

当时，.又，故在上是增函数

（Ⅲ）当时，由（Ⅱ）知，在上的最大值为

于是问题等价于：对任意的，不等式恒成立.

记

则…………………………9分

当时，有，且在区间（1，2）上递减，且，则不可能使恒成立，故必有…………11分

当，且

若，可知在区间上递减，在此区间上有，与恒成立矛盾，故，这时，即在（1，2）上递增，恒有满足题设要求.

，即，所以，实数的取值范围为.……………………14分