题目内容
已知函数
，其中
为自然对数的底数.
（Ⅰ）当
时，求曲线
在
处的切线与坐标轴围成的面积；
（Ⅱ）若函数
存在一个极大值点和一个极小值点，且极大值与极小值的积为
，求
的值.
解：（Ⅰ）
， ………………3分
当时，
，
，
，
所以曲线在处的切线方程为
， ………………5分
切线与
轴、
轴的交点坐标分别为
，
， ………………6分
所以，所求面积为
. ………………7分
（Ⅱ）因为函数
存在一个极大值点和一个极小值点，
所以，方程
在
内存在两个不等实根， ………………8分
则
………………9分
所以
. ………………10分
设
为函数
的极大值点和极小值点，
则
，
， ………………11分
因为，
，
所以，
， ………………12分
即
，
，
，
解得，
，此时有两个极值点，
所以
. ………………14分
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，其中
为自然对数的底数。
的单调性；
（其中
为自然对数的底）．
的最小值；
，证明：
（其中
为自然对数的底）．
的最小值；
，证明：
．
，其中
为自然对数的底数．
的最小值；
，且
，证明：
．
，其中
为自然对数的底数.
时，求曲线
在
处的切线与坐标轴围成的面积；
存在一个极大值点和一个极小值点，且极大值与极小值的积为
，求
的值.