Question

15．在公比大于1的等比数列{a_n}中，a₂=6，a₁+a₂+a₃=26；设c_n=a_n+b_n，且数列{c_n}是公差为2的等差数列，b₁=a₁．
（1）求数列{a_n}和{c_n}的通项公式；
（2）求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用等比数列的通项公式可得a_n，再利用等差数列的通项公式可得c_n．
（2）由（1）得c_n=2n+2=a_n+b_n=2×3^n-1+b_n，可得b_n=（2n+2）-2×3^n-1．利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）设公比为q，由，a₂=6，a₁+a₂+a₃=26，
可得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}q=6}\\{{a}_{1}+{a}_{1}q+{a}_{1}{q}^{2}=26}\end{array}\right.$，
解得q=3，或 q=$\frac{1}{3}$，
再由q＞1可得q=3，
∴a₁=2，
∴a_n=2×3^n-1．
c₁=a₁+b₁=4，
又∵数列{c_n}是公差为2的等差数列，
∴c_n=4+（n-1）2=2n+2．
（2）由（1）得c_n=2n+2=a_n+b_n=2×3^n-1+b_n，
∴b_n=（2n+2）-2×3^n-1．
∴S_n=[4+6+…+（2n+2）]-2（1+3+3²+…+3^n-1）
=$\frac{（4+2n+2）n}{2}-\frac{{2（1-{3^n}）}}{1-3}$
=n²+3n-3ⁿ+1，
∴数列{b_n}的前n项和S_n=n²+3n-3ⁿ+1．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．