Question

（本小题满分12分）
已知三棱柱的侧棱垂直于底面，，，，，分别是，的中点．
（1）证明：；
（2）证明：平面；
（3）求二面角的余弦值．

Answer 1

略

   解法一：


（Ⅰ）证明：因为平面，
所以是在平面内的射影，… 2 分
由条件可知，
所以． ………………… 4 分
（Ⅱ）证明：设 的中点为，
连接，．
因为，分别是，的中点，
所以．
又=，，
所以．
所以四边形是平行四边形．
所以．    …………………6 分
因为平面，平面，
所以平面． …………… 8 分
（Ⅲ）如图，设的中点为，连接，
所以．
因为底面，
所以底面．
在平面内，过点做，垂足为．
连接，则．
所以是二面角的平面角．         ………………… 10 分
因为==2，
由∽，得=．
所以==．
所以==．
二面角的余弦值是．              ………………… 12 分
解法二：
依条件可知，，两两垂直．
如图，以点为原点建立空间直角坐标系．
根据条件容易求出如下各点坐标：
，，，
，，，
，．
（Ⅰ）证明：因为，
，
所以．             ………………… 2分
所以．
即．                                 ………………… 4 分
（Ⅱ）证明：因为，是平面的一个法向量，
且，所以．          ………6 分
又平面，
所以平面．                         ………………… 8 分
（Ⅲ）设是平面的法向量，
因为，，
由得解得平面的一个法向量．
由已知，平面的一个法向量为．    ………………… 10 分
设二面角的大小为， 则==．
二面角的余弦值是．                  ………………… 12 分