Question

设a＞0，f（x）=

ex

a

+

a

ex

是R上的偶函数．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）证明f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（Ⅲ）解关于x的不等式f（2x-1）＞e+

1

e

．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）根据函数是偶函数建立条件关系即可求a的值；
（Ⅱ）根据函数单调性的定义即可证明f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（Ⅲ）结合函数奇偶性和单调性的性质即可解关于x的不等式f（2x-1）＞e+

1

e

．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=

ex

a

+

a

ex

是R上的偶函数．
∴f（-x）=f（x），
即

e-x

a

+

a

e-x

=

ex

a

+

a

ex

，
整理得（a-

1

a

）（

e2x-1

ex

）=0，
∴a-

1

a

=0，
∵a＞0，
∴a=1．
（Ⅱ）证明f（x）在（0，+∞）上是增函数；
设0＜x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=ex2+

1

ex2

-(ex1+

1

ex1

)=(ex2-ex1)(1-

1

ex1ex2

)，
∵0＜x₁＜x₂，∴ex2＞ex1，ex1ex2＞1，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（Ⅲ）∵f（x）在（0，+∞）上是增函数且是偶函数；
则不等式f（2x-1）＞e+

1

e

等价为f（|2x-1|）＞f（1），
则|2x-1|＞1，
即2x-1＞1或2x-1＜-1，
解得x＞1或x＜0，
即不等式的解集为{x|x＞1或x＜0}．

点评：本题主要考查函数奇偶性的应用以及函数单调性的证明，利用函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键．