Question

13．已知 i是虚数单位，复数z₁满足（z₁-2）（1+i）=1-i．
（1）求复数z₁；
（2）若复数z₂的虚部为2，且$\frac{z_2}{{\overline{z_1}}}$是实数，求|z₂|．

Answer 1

分析 （1）把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案；
（2）设z₂=a+2i（a∈R），代入$\frac{z_2}{{\overline{z_1}}}$，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由$\frac{z_2}{{\overline{z_1}}}$是实数求得a值，得到z₂，代入复数模的计算公式得答案．

解答 解：（1）由（z₁-2）（1+i）=1-i，
得z₁-2=$\frac{1-i}{1+i}=\frac{（1-i）^{2}}{（1+i）（1-i）}=\frac{-2i}{2}=-i$，
∴z₁=2-i；
（2）设z₂=a+2i（a∈R），则$\frac{{z}_{2}}{\overline{{z}_{1}}}=\frac{a+2i}{2+i}=\frac{（a+2i）（2-i）}{（2+i）（2-i）}=\frac{2a+2+（4-a）i}{5}$，
∵$\frac{z_2}{{\overline{z_1}}}$是实数，∴a=4，
则z₂=4+2i，
∴$|{z}_{2}|=\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}=2\sqrt{5}$．

点评 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．