Question

15．已知函数f（x）=$\frac{{2}^{x}+1}{{2}^{x}-1}$．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性；
（3）判断函数f（x）的单调性，并用函数单调性的定义证明．

Answer 1

分析 （1）可以看出x≠0，从而定义域便为{x|x≠0}；
（2）求f（-x），然后和f（x）比较即可得出f（x）的奇偶性；
（3）先将原函数变成$f（x）=1-\frac{2}{{2}^{x}-1}$，这样便看出f（x）在（-∞，0），（0，+∞）上单调递增，可根据单调性的定义证明：定义域内设任意的x₁＜x₂，然后作差，通分，便可得到$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{2（{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}）}{（{2}^{{x}_{1}}-1）（{2}^{{x}_{2}}-1）}$，这样便可得出x₁，x₂∈（0，+∞）或x₁，x₂∈（-∞，0）时，f（x₁）＜f（x₂），这样便可得出f（x）的单调性．

解答 解：（1）要使f（x）有意义，则：2^x-1≠0；
∴x≠0；
∴该函数的定义域为{x|x≠0}；
（2）f（-x）=$\frac{{2}^{-x}+1}{{2}^{-x}-1}=\frac{{2}^{x}+1}{1-{2}^{x}}=-f（x）$；
∴f（x）为奇函数；
（3）$f（x）=\frac{{2}^{x}+1}{{2}^{x}-1}=1-\frac{2}{{2}^{x}-1}$；
∴可以看出x增大时，y增大，∴f（x）在（-∞，0），（0，+∞）上单调递增，用定义证明如下：
设x₁，x₂∈{x|x≠0}，且x₁＜x₂，则：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}-1}-\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}-1}$=$\frac{2（{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}）}{（{2}^{{x}_{1}}-1）（{2}^{{x}_{2}}-1）}$；
∵x₁＜x₂；
∴${2}^{{x}_{1}}＜{2}^{{x}_{2}}$，${2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}＜0$；
又x₁，x₂∈（-∞，0），或x₁，x₂∈（0，+∞）时，$（{2}^{{x}_{1}}-1）（{2}^{{x}_{2}}-1）＞0$；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在（-∞，0），（0，+∞）上单调递增．

点评 考查函数定义域、奇函数，及增函数的定义，判断函数奇偶性的方法，以及根据单调性的定义证明一个函数为增函数的方法和过程，作差的方法比较f（x₁），f（x₂），是分式的一般要通分．