Question

1．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC+$\sqrt{3}$asinC-b-2c=0．
（1）求A．
（2）若等差数列{a_n}的公差不为零，且a₁cosA=-1，且a₂、a₄、a₈成等比数列，设{a_n}的前n项和为T_n，求数列{$\frac{1}{{T}_{n}}$}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理对acosC+$\sqrt{3}$asinC-b-2c=0变形、结合三角形内角和定理可知$\sqrt{3}$sinA-cosA=2，进而利用辅助角公式可得结论；
（2）通过（1）可知a₁=2，利用a₂、a₄、a₈成等比数列可知数列{a_n}是首项、公差均为2的等差数列，利用等差数列的求和公式可知T_n=n（n+1），进而利用裂项相消法计算即得结论．

解答 解：（1）因为acosC+$\sqrt{3}$asinC-b-2c=0，
所以sinAcosC+$\sqrt{3}$sinAsinC-sinB-2sinC=0，
所以sinAcosC+$\sqrt{3}$sinAsinC=sinB+2sinC=sin（A+C）+2sinC=sinAcosC+sinCcosA+2sinC，
又因为sinC≠0，
所以$\sqrt{3}$sinA-cosA=2，
∴sin（A-30°）=1，
∴A-30°=90°，
∴A=120°；
（2）由（1）可知cosA=cos120°=-$\frac{1}{2}$，
又因为a₁cosA=-1，
所以a₁=2，记等差数列{a_n}的公差为d（d≠0），
则由a₂、a₄、a₈成等比数列可知（2+3d）²=（2+d）（2+7d），解得：d=2，
所以数列{a_n}是首项、公差均为2的等差数列，
所以数列{a_n}的前n项和T_n=2×$\frac{n（n+1）}{2}$=n（n+1），
因为$\frac{1}{{T}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
所以S_n=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查三角恒等变换，考查数列的通项及前n项和，考查正弦定理、辅助角公式，考查裂项相消法，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．