Question

(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.

设二次函数，对任意实数，恒成立；数列满足.

（1）求函数的解析式和值域；

（2）试写出一个区间，使得当时，数列在这个区间上是递增数列，

并说明理由；

（3）已知，求：.

Answer 1

(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.

解：（1）由恒成立等价于恒成立，…………………………1分

从而得：，化简得，从而得，所以，………3分

其值域为.………………………………………………………………………………………………4分

（2）解：当时，数列在这个区间上是递增数列，证明如下：

设，则，所以对一切，均有；………………………………………………………………………………………………7分

，

从而得，即，所以数列在区间上是递增数列.………………………10分

注：本题的区间也可以是、、等无穷多个.

另解：若数列在某个区间上是递增数列，则

即…………………………7分

又当时，，所以对一切，均有且，所以数列在区间上是递增数列.…………………………10分

（3）（文科）由（2）知，从而；

，即；  ………12分

令，则有且；

从而有，可得，所以数列是以为首项，公比为的等比数列，……………………………………14分

从而得，即，所以 ，

所以，所以，  ………………16分

所以，

.    ……………………………………………………18分

（3）（理科）由（2）知，从而；

，即；………12分

令，则有且；

从而有，可得，所以数列是为首项，公比为的等比数列，………………………………………………………14分

从而得，即，所以 ，

所以，所以，

所以，

.………………………………………………………16分

即，所以，恒成立

当为奇数时，即恒成立，当且仅当时，有最小值为。

当为偶数时，即恒成立，当且仅当时，有最大值为。

所以，对任意，有。又非零整数，…………………………………18分