Question

（本题满分18分，第（1）小题6分，第（2）小题6分，第（3）小题6分）

若数列满足：是常数），则称数列为二阶线性递推数列，且定义方程为数列的特征方程，方程的根称为特征根； 数列的通项公式均可用特征根求得：

①若方程有两相异实根，则数列通项可以写成，（其中是待定常数）；

②若方程有两相同实根，则数列通项可以写成，（其中是待定常数）；

再利用可求得，进而求得．

根据上述结论求下列问题：

（1）当，（）时，求数列的通项公式；

（2）当，（）时，求数列的通项公式；

（3）当，（）时，记，若能被数整除，求所有满足条件的正整数的取值集合．

Answer 1

(Ⅰ)    (Ⅱ)   （Ⅲ）

解析:

（1）由可知特征方程为：

， …………………3分

所以 设  ，由得到，

所以   ； …………………6分

（2）由可以得到

设，则上述等式可以化为：…………………8分

，所以对应的特征方程为：

，…………………10分

所以令   ，由可以得出

所以…………………11分

即  …………………12分

（3）同样可以得到通项公式………14分

所以

 

即     …………………14分

即   ，…………………16分

因此除以的余数，完全由除以的余数确定，

因为  所以  ，

，，

，，

，，

，，

由以上计算及可知，数列各项除以的余数依次是：

它是一个以为周期的数列，从而除以的余数等价于除以的余数，所以，，

即所求集合为：…………………18分