题目内容

(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.

设，对于项数为的有穷数列，令为中最大值，称数列为的“创新数列”．例如数列3，5，4，7的创新数列为3，5，5，7．

考查自然数的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列．

（1）若，写出创新数列为3，4，4，4的所有数列；

（2）是否存在数列的创新数列为等比数列？若存在，求出符合条件的创新数列；若不存在，请说明理由．

（3）是否存在数列，使它的创新数列为等差数列？若存在，求出满足所有条件的数列的个数；若不存在，请说明理由．

 

【答案】

解：（1）由题意，创新数列为3，4，4，4的所有数列有两个，即3，4，1，2和

3，4，2，1．              ……………（每写出一个给2分，多写不得分）4分

（2）存在数列的创新数列为等比数列．……………………………………5分

设数列的创新数列为，

因为为前个自然数中最大的一个，所以．   ……………………6分

若为等比数列，设公比为，因为，所以．…7分

当时，为常数列满足条件，即为数列

（或写通项公式）；    ……………………………………9分

当时，为增数列，符合条件的数列只能是，又不满足等比数列．综上符合条件的创新数列只有一个．              ……………………10分

（3）存在数列，使它的创新数列为等差数列，     ……………………11分

设数列的创新数列为，因为为前个自然数中最大的一个，所以．

若为等差数列，设公差为，

因为，所以．且  ……………………12分

当时，为常数列满足条件，即为数列（或写通项公式），

此时数列是首项为的任意一个排列，共有个数列；      ……………14分

当时，符合条件的数列只能是，此时数列是，有1个；                                                     ……………………15分

当时， 又

这与矛盾，所以此时不存在。    …………17分

综上满足条件的数列的个数为个（或回答个）．  …………18分

【解析】略

 

练习册系列答案
相关题目

（本题满分18分，第（1）小题6分，第（2）小题6分，第（3）小题6分）

若数列满足：是常数），则称数列为二阶线性递推数列，且定义方程为数列的特征方程，方程的根称为特征根； 数列的通项公式均可用特征根求得：

①若方程有两相异实根，则数列通项可以写成，（其中是待定常数）；

②若方程有两相同实根，则数列通项可以写成，（其中是待定常数）；

再利用可求得，进而求得．

根据上述结论求下列问题：

（1）当，（）时，求数列的通项公式；

（2）当，（）时，求数列的通项公式；

（3）当，（）时，记，若能被数整除，求所有满足条件的正整数的取值集合．

（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分．
已知负数和正数，且对任意的正整数n，当≥0时, 有[, ]=
[, ]；当<0时, 有[, ]= [, ]．
（1）求证数列{}是等比数列；
（2）若，求证；
（3）是否存在，使得数列为常数数列？请说明理由

（本题满分18分）已知抛物线C的顶点在原点,焦点在y轴正半轴上,点到其准线的距离等于5．

（Ⅰ）求抛物线C的方程;

（Ⅱ）如图,过抛物线C的焦点的直线从左到右依次与抛物线C及圆交于A、C、D、B四点,试证明为定值;

（Ⅲ）过A、B分别作抛物C的切线且交于点M,求与面积之和的最小值．

 

（本题满分18分，其中第1小题6分，第2小题6分，第3小题6分）
已知数列的首项为1，前项和为，且满足，．数列满足.
（1） 求数列的通项公式；
（2） 当时，试比较与的大小，并说明理由；
（3） 试判断：当时，向量是否可能恰为直线的方向向量？请说明你的理由.

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网