Question

（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分．
已知负数和正数，且对任意的正整数n，当≥0时, 有[, ]=
[, ]；当<0时, 有[, ]= [, ]．
（1）求证数列{}是等比数列；
（2）若，求证；
（3）是否存在，使得数列为常数数列？请说明理由

Answer 1

（1）当≥0时，b_n+1－a_n+1= -a_n= ；
当<0, b_n+1－a_n+1= b_n-= ．
所以，总有b_n+1－a_n+1= (b_n-a_n),                      
又，可得，                     
所以数列｛b_n－a_n｝是等比数列．                          ………………4分
（2）①由，可得，故有，
∴，，从而，
故当n=1时，成立．                           ………………6分
②假设当时，成立，即，      
由，可得，                   
, 故有，
∴,                       ………………9分
,故有
∴, ，故
∴当时，成立．
　综合①②可得对一切正整数n，都有．             ………………12分
（3）假设存在，使得数列为常数数列，
由（1）可得b_n－a_n=()^n-1，又，
故b_n=()^n-1，                                 ………………14分
由恒成立，可知≥0,即()ⁿ≥0恒成立，
即2ⁿ≤对任意的正整数n恒成立，                　………………16分
又是正数，故n≤对任意的正整数n恒成立，
因为是常数，故n≤不可能对任意正整数n恒成立．
故不存在，使得数列为常数数列．　　　　　　　   ………………18分

解析