题目内容
已知函数
．（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；
（2）证明函数f（x）在区间（1，+∞）上是增函数．
【答案】分析：（1）用函数奇偶性的定义判断、证明，注意具有奇偶性的函数定义域须关于原点对称；
（2）利用增函数的定义证明．
解答：解：（1）函数
为奇函数
∵函数
的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）且关于原点对称．
且
．
所以函数
为奇函数．
（2）证明：设x1，x2是区间（1，+∞）上的任意两个数，且x1＜x2．
=
．
∵1＜x1＜x2，∴x1-x2＜0，x1x2-1＞0，∴f（x1）-f（x2）＜0 即f（x1）＜f（x2）．
∴函数f（x）在（1，+∞）上为增函数．
点评：本题考查函数的奇偶性、单调性，属于基础题，难度不大，准确理解它们的定义是解决该类问题的基础．
（2）利用增函数的定义证明．
解答：解：（1）函数
为奇函数 ∵函数
的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）且关于原点对称．且
．所以函数
为奇函数．（2）证明：设x1，x2是区间（1，+∞）上的任意两个数，且x1＜x2．
=
．∵1＜x1＜x2，∴x1-x2＜0，x1x2-1＞0，∴f（x1）-f（x2）＜0 即f（x1）＜f（x2）．
∴函数f（x）在（1，+∞）上为增函数．
点评：本题考查函数的奇偶性、单调性，属于基础题，难度不大，准确理解它们的定义是解决该类问题的基础．
练习册系列答案
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，
上的单调性；
．
，求a，b的值．
．
的奇偶性；（4分）
的方程
有两解，求实数
的取值范围；（6分）
，记
，试求函数
在区间
上的最大值.（10分）
．
，
的奇偶性；（2）求证：方程
至少有一根在区间