设r是方程f(x)=0的根.选取x0作为r的初始近似值.过点(x0.f(x0))做曲线y=f(x)的切线l.l的方程为y=f(x0)+f'(x0)(x-x0).求出l与x轴交点的横坐标x1=x0-$\frac{{f}}$.称x1为r的一次近似值．过点(x1.f(x1))做曲线y=f(x)的切线.并求该切线与x轴交点的横坐标x2=x1-$\frac{f}{f′}$.称x2为r的二� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

6．设r是方程f（x）=0的根，选取x₀作为r的初始近似值，过点（x₀，f（x₀））做曲线y=f（x）的切线l，l的方程为y=f（x₀）+f'（x₀）（x-x₀），求出l与x轴交点的横坐标x₁=x₀-$\frac{{f（{x_0}）}}{{f'（{x_0}）}}$，称x₁为r的一次近似值．过点（x₁，f（x₁））做曲线y=f（x）的切线，并求该切线与x轴交点的横坐标x₂=x₁-$\frac{f（{x}_{1}）}{f′（{x}_{1}）}$，称x₂为r的二次近似值．重复
以上过程，得r的近似值序列，其中，x_n+1=x_n-$\frac{{f（{x_n}）}}{{f'（{x_n}）}}$，称为r的n+1次近似值，上式称为牛顿迭代公式．已知$\sqrt{6}$是方程x²-6=0的一个根，若取x₀=2作为r的初始近似值，则在保留四位小数的前提下，$\sqrt{6}$≈（　　）

A．

2.4494

B．

2.4495

C．

2.4496

D．

2.4497

分析 f（x）=2x，x_n+1=x_n-$\frac{{f（{x_n}）}}{{f'（{x_n}）}}$=x_n-$\frac{{x}_{n}^{2}-6}{2{x}_{n}}$=$\frac{1}{2}{x}_{n}$+$\frac{3}{{x}_{n}}$．取x₀=2时，分别计算x₁，x₂，x₃，即可得出．

解答解：f（x）=2x，x_n+1=x_n-$\frac{{f（{x_n}）}}{{f'（{x_n}）}}$=x_n-$\frac{{x}_{n}^{2}-6}{2{x}_{n}}$=$\frac{1}{2}{x}_{n}$+$\frac{3}{{x}_{n}}$．
x₀=2时，x₁=$\frac{1}{2}{x}_{0}$+$\frac{3}{{x}_{0}}$=$\frac{1}{2}×2+\frac{3}{2}$=2.5．
x₂=$\frac{1}{2}{x}_{1}+\frac{3}{{x}_{1}}$=$\frac{1}{2}×2.5+\frac{3}{2.5}$=2.45，
x₃=$\frac{1}{2}{x}_{2}+\frac{3}{{x}_{2}}$=$\frac{1}{2}×2.45+\frac{3}{2.45}$≈2.4495．
故选：B．

点评本题考查了导数的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．