Question

15．已知函数f（x）=（c-1）lnx-（x-1）lnc（c≠1）．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设c＞1，证明：当x∈（1，c）时，f（x）＞0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f′（x）=$\frac{c-1}{x}$-lnc=$\frac{c-1-xlnc}{x}$，令f′（x）=0，得x=$\frac{c-1}{lnc}$，由此利用导数性质能讨论函数f（x）的单调性．
（Ⅱ）设h（x）=x-1-lnx，则h′（x）=1-$\frac{1}{x}$，当x＞1时，${h}^{'}（x）=1-\frac{1}{x}$＞0，h（x）为增函数，从而$\frac{c-1}{lnc}$＞1，由此利用导数性质能证明当x∈（1，c）时，f（x）＞0．

解答 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=（c-1）lnx-（x-1）lnc（c≠1），x＞0，
∴f′（x）=$\frac{c-1}{x}$-lnc=$\frac{c-1-xlnc}{x}$，
令f′（x）=0，得c-1-xlnc=0，
解得x=$\frac{c-1}{lnc}$，
当0＜c＜1时，lnc＜0，c-1＜0，∴$\frac{c-1}{lnc}$＞0，
当c＞1时，c-1＞0，lnc＞0，∴$\frac{c-1}{lnc}$＞0，
若0＜x＜$\frac{c-1}{lnc}$，则f′（x）＞0，f（x）是单调增函数，
若x＞$\frac{c-1}{lnc}$，则f′（x）＜0，f（x）是单调减函数．
证明：（Ⅱ）设h（x）=x-1-lnx，则h′（x）=1-$\frac{1}{x}$，
当x＞1时，${h}^{'}（x）=1-\frac{1}{x}$＞0，∴h（x）为增函数，
∴c-1-lnc＞h（1）=0，
∴$\frac{c-1}{lnc}$＞1，
由f（x）的单调性知：x∈（1，$\frac{c-1}{lnc}$）时，f（x）单调递增，x∈（$\frac{c-1}{lnc}$，c）时，f（x）单调递减，
∴当x=1或x=c时，f（x）在[1，c]取最小值，
∵f（1）=f（c）=0，
∴当x∈（1，c）时，f（x）＞0．

点评 本题考查函数的单调性的讨论，考查不等式的证明，考查导数性质、函数单调性、函数最值、构造法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，函数与方程思想，是中档题．