题目内容
已知函数f（x）=cos2x+2tsinxcosx-sin2x，
（1）当t=1时，若f(
)=
，试求sin2α；
（2）若函数f（x）在区间(
，
]上是增函数，求实数t的取值范围．
（1）当t=1时，若f(
| α |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
（2）若函数f（x）在区间(
| π |
| 12 |
| π |
| 6 |
分析：（1）当t=1时，化简函数得f（x）=cos2x+sin2x，从而f(
)=sinα+cosα=
，将其两边平方，结合二倍角的正弦公式和同角三角函数的关系，可得sin2α的值；
（2）化简函数得f（x）=cos2x+tsin2x，从而得到f'（x）=-2sin2x+2tcos2x．由函数单调性与导数关系，得f'（x）≥0在区间(
，
]上恒成立，注意到cos2x＞0，将不等式变量分离并讨论tan2x的最值，即可得到实数t的取值范围．
| α |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
（2）化简函数得f（x）=cos2x+tsin2x，从而得到f'（x）=-2sin2x+2tcos2x．由函数单调性与导数关系，得f'（x）≥0在区间(
| π |
| 12 |
| π |
| 6 |
解答：解：（1）当t=1时，函数f（x）=cos2x+2sinxcosx-sin2x=cos2x+sin2x，…（3分）．
∵f(
)=
，∴sinα+cosα=
，
两边同时平方，并整理得：2sinαcosα=-
，…（5分）
由此可得sin2α=-
…（6分）
（2）化简函数，得f（x）=cos2x+tsin2x
∴f'（x）=-2sin2x+2tcos2x
函数f（x）在区间(
，
]上是增函数，
等价于不等式f'（x）≥0在区间(
，
]上恒成立，
即f'（x）=-2sin2x+2tcos2x≥0在区间(
，
]上恒成立，…（9分）
∵2x∈（
，
]为锐角，cos2x是正数，∴t≥tan2x在在区间(
，
]上恒成立，
而函数y=tan2x在区间上的最大值为tan(2•
)=
，所以t≥
∴实数t的取值范围是[
，+∞）．…（12分）．
∵f(
| α |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
两边同时平方，并整理得：2sinαcosα=-
| 7 |
| 16 |
由此可得sin2α=-
| 7 |
| 16 |
（2）化简函数，得f（x）=cos2x+tsin2x
∴f'（x）=-2sin2x+2tcos2x
函数f（x）在区间(
| π |
| 12 |
| π |
| 6 |
等价于不等式f'（x）≥0在区间(
| π |
| 12 |
| π |
| 6 |
即f'（x）=-2sin2x+2tcos2x≥0在区间(
| π |
| 12 |
| π |
| 6 |
∵2x∈（
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| π |
| 12 |
| π |
| 6 |
而函数y=tan2x在区间上的最大值为tan(2•
| π |
| 6 |
| 3 |
| 3 |
∴实数t的取值范围是[
| 3 |
点评：本题给出三角函数表达式，讨论函数的单调性并求参数取值范围，着重考查了二倍角的正弦、同角三角函数的关系和利用导数研究函数的单调性等知识，属于基础题．
练习册系列答案
手拉手全优练考卷系列答案
相关题目
已知函数f（x）=
，则关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有5个不同实数解的充要条件是（ ）
|
| A、b＜-2且c＞0 |
| B、b＞-2且c＜0 |
| C、b＜-2且c=0 |
| D、b≥-2且c=0 |
已知函数f（x）的图象如图所示，则函数的值域为（ ）