Question

在平面直角坐标系中，若，且.

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）已知定点，若斜率为的直线过点并与轨迹交于不同的两点，且对于轨迹上任意一点，都存在，使得成立，试求出满足条件的实数的值.

 

Answer 1

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）设，则，，由可得，结合椭圆的定义可知，动点的轨迹是以为焦点，4为长轴长的椭圆，从而可以确定椭圆标准方程中的参数的取值，进而写出椭圆的方程即可；（2）设，直线：，联立直线的方程与（1）中椭圆的方程，消去得到，进而根据得，且，再计算出，然后由确定的横纵坐标，根据点在轨迹上，将点的坐标代入轨迹的方程并由的任意性，得到即，从中求解，并结合即可得到满足要求的的值.

试题解析：（1）设，则，

由可得

∴动点到两个定点的距离的和为4

∴轨迹是以为焦点的椭圆，且长轴长为

设该椭圆的方程为

则有且，所以

所以轨迹的方程为

（2）设，直线的方程为，代入

消去得

由得，且

∴

设点，由可得

∵点在上

∴

∴

又因为的任意性，∴

∴，又，得

代入检验，满足条件，故的值是．

考点：1.动点的轨迹问题；2.椭圆的定义及其标准方程；3.直线与圆锥曲线的综合问题.