Question

【题目】设函数.

（1）若求函数的单调区间；

（2）若试判断函数在区间内的极值点的个数，并说明理由；

（3）求证：对任意的正数a都存在实数t满足：对任意的，.

Answer 1

【答案】(1) 单调递减区间为单调递增区间为. (2) 见解析 (3)证明见解析

【解析】

（1）求解，利用，解不等式求解单调递增区间，单调递减区间；
（2），其中，
再次构造函数令，分析的零点情况．，
令，列表分析得出单调性，求其最小值，
分类讨论求解①若，②若，③若的单调性，最大值，最小值，确定有无零点问题；
（3）先猜想恒成立．
再运用导数判断证明．令，求解最大值，得出即可．

（1）当时，，，

令，，列表分析

		1
		0	+
	单调递减		单调递增

故的单调递减区间为单调递增区间为.

（2），，其中，

令，分析的零点情况.

令，，列表分析

		0	+
	单调递减		单调递增

，

而，

，

①若则，

故在内没有极值点；

②若，则，

因此在有两个零点，在内有两个极值点；

③若则，，，

因此在有一个零点，在内有一个极值点；

综上所述当时，在内没有极值点；

当时，在内有两个极值点；

当时，在内有一个极值点.

（3）猜想：，恒成立.

证明如下：

由（2）得在上单调递增，且，.

因为当时，，

所以

故在上存在唯一的零点，设为.由

		0	+
	单调递减		单调递增

知，.

又，而时，，

所以.

即，.

所以对任意的正数a，都存在实数，

使对任意的，

使.

补充证明:

令，.，

所以在上单调递增.

所以时，，即.

补充证明

令，.，

所以在上单调递减.

所以时，，即.