Question

【题目】已知各项都是正数的数列的前项和为，且，数列满足，.

（1）求数列、的通项公式；

（2）设数列满足，求和；

（3）是否存在正整数，，，使得，，成等差数列？若存在，求出所有满足要求的，，，若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）存在或，，满足要求.

【解析】试题分析：

（1）由递推关系可得，则，是等差数列，其中公差为1，且，通项公式为，数列是等比数列，其中首项为，公比为，故.

（2）结合(1)的结论可得，则，

（3）假设存在正整数，使得成等差数列，则，

而数列从第二项起单调递减，分类讨论：

当时，，若，无解；若，符合要求，若，无解； 故，此时，可得，.

试题解析：

（1）①，②，

②-①得：，即，

因为是正数数列，所以，即，

所以是等差数列，其中公差为1，

在中，令，得，

所以，

由得，

所以数列是等比数列，其中首项为，公比为，

所以.

（2），裂项得，

所以，

（3）假设存在正整数，使得成等差数列，则，即，

因为，所以数列从第二项起单调递减，

当时，，

若，则，此时无解；

若，则，因为从第二项起递减，故，所以符合要求，

若，则，即，不符合要求，此时无解；

当时，一定有，否则若，则，即，矛盾，

所以，此时，令，则，所以，，

综上得：存在或，，满足要求.