Question

【题目】在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，已知是以为底边，且边平行于轴的等腰三角形.

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）已知直线交轴于点，且与曲线相切于点，点在曲线上，且直线轴，点关于点的对称点为点，试判断点、、三点是否共线，并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）、、三点共线，理由见解析.

【解析】

（1）设动点，由轴可得，由题意可得出，由此可得出关于、的等式，化简可得出轨迹的方程，由点为坐标原点时，、、三点共线可得出，由此可得出轨迹的方程；

（2）可知直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，将直线的方程与曲线的方程联立，由得出，求出、的坐标，利用直线、的斜率相等可得出、、三点共线.

（1）设动点，因为轴，所以与直线垂直，则，

是以为底边的等腰直角三角形，故，

即，即，化简得.

因为当点为坐标原点时，、、三点共线，无法构成三角形，

因此，动点的轨迹的方程为；

（2）、、三点共线，理由如下：

因为直线与曲线相切，所以直线的斜率必存在且不为零，设直线的方程为，

由，消得，，得.

所以，直线的方程为，

令，得，则点，，故，

又由，得，则点，

，，，

因此，、、三点共线.