Question

19．设$\overrightarrow{i}$，$\overrightarrow{j}$分别为直角坐标系中Ox，Oy正方向上的单位向量，设$\overrightarrow{OA}$=-2$\overrightarrow{i}$+m$\overrightarrow{j}$，$\overrightarrow{OB}$=n$\overrightarrow{i}$+$\overrightarrow{j}$，$\overrightarrow{OC}$=5$\overrightarrow{i}$-$\overrightarrow{j}$，若点A，B，C在一条直线上，且m-2n=0，则m的值是（　　）

• A． 1或2
• B． 1或3
• C． 2或3
• D． 3或6

Answer 1

分析 由已知条件求出$\overrightarrow{OA}=（-2，m），\overrightarrow{OB}=（n，1）$，$\overrightarrow{OC}=（5，-1）$，而由A，B，C三点共线便知，存在实数k使得：$\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}$，从而得到$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=k（\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}）$，带入向量坐标便可得到（n+2，1-m）=k（7，-（1+m））．从而得到$n=\frac{5m-9}{1+m}$，带入已知的m-2n=0中，便可解出m．

解答 解：根据条件，$\overrightarrow{OA}=（-2，m），\overrightarrow{OB}=（n，1），\overrightarrow{OC}=（5，-1）$；
A，B，C三点在一条直线上；
∴$\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}$；
∴$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=k（\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}）$；
∴（n，1）-（-2，m）=k[（5，-1）-（-2，m）]；
∴（n+2，1-m）=（7k，-k（1+m））；
∴$\left\{\begin{array}{l}{n+2=7k}\\{1-m=-k（1+m）}\end{array}\right.$，消去k得：7m-7=（n+2）（1+m）；
∴n=$\frac{5m-9}{1+m}$，带入m-2n=0得，$m-\frac{10m-18}{1+m}=0$；
解得m=3，或6．
故选：D．

点评 考查向量坐标的定义，共线向量基本定理，向量减法的几何意义，以及向量坐标的减法及数乘运算．