Question

8．集合A={y|y=x²+2ax+1}，B={y|y=-x²+1+a}．
（1）若A∪B=R，求实数a的取值范围；
（2）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由已知得A={y|y≥1-a²}，B={y|y≤1-a}，由此根据A∪B=R，借助数轴能求出实数a的取值范围．
（2）由已知得A={y|y≥1-a²}，B={y|y≤1-a}，由此根据A∩B=∅，借助数轴能求出实数a的取值范围．

解答 解：（1）A={y|y=x²+2ax+1}={y|y=（x+a）²+1-a²≥1-a²}，
B={y|y=-x²+1+a≤1-a}，
∵A∪B=R，
∴1-a≥1-a²，解得a≥1或a≤0，
∴实数a的取值范围是（-∞，0]∪[1，+∞）．
（2）A={y|y=x²+2ax+1}={y|y=（x+a）²+1-a²≥1-a²}，
B={y|y=-x²+1+a≤1-a}，
∵A∩B=∅，
∴1-a²＞1-a，
解得0＜a＜1，
∴实数a的取值范围是（0，1）．

点评 本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集和并集的性质的合理运用．