Question

【题目】如图，已知椭圆：的离心率为，长轴长为4，、分别是椭圆的左、右顶点，过右焦点且斜率为的直线与椭圆相交于，两点.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）记、的面积分別为、，若，求的值；

（Ⅲ）设线段的中点为，直线与直线相交于点，记直线、、的斜率分别为、、，求的值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）根据长轴长、离心率和椭圆关系可求得，进而得到椭圆方程；

（Ⅱ）由面积比可得到，由此利用表示出，根据两点在椭圆上，代入整理求得，进而得到所求斜率；

（Ⅲ）利用点差法可求得，求得点坐标后可得到；将直线方程与椭圆方程联立后可求得坐标，由三点共线可整理得到，进而得到；将上述三个关系式代入整理可得最终结果.

（Ⅰ）设椭圆的焦距为，

椭圆长轴长为，即，，

又，，，椭圆的标准方程为；

（Ⅱ）设点，.

，，又，，，

，代入坐标可得：，即，

又点、在椭圆上，，解得：，

直线的斜率；

（Ⅲ）点，在椭圆上，，

两式相减得：，即，

，即，直线的方程为，

令得：，即，，

又直线的方程为，

与椭圆联立整理得：，

，解得：，，

点的坐标为，同理可得：点的坐标为.

又点、、三点共线，，

整理得：，

由题意知：，，，

由可得：，即.

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