已知曲线C1的极坐标方程为ρ2cos2θ=18.曲线C2的极坐标方程为θ=$\frac{π}{6}$.曲线C1.C2相交于A.B两点．(1)求A.B两点的极坐标,(2)曲线C1与直线$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$分别相交于M.N两点.求线段MN� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

8．已知曲线C₁的极坐标方程为ρ²cos2θ=18，曲线C₂的极坐标方程为θ=$\frac{π}{6}$，曲线C₁，C₂相交于A，B两点．
（1）求A，B两点的极坐标；
（2）曲线C₁与直线$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）分别相交于M，N两点，求线段MN的长度．

分析（1）由θ=$\frac{π}{6}$，代入ρ²cos2θ=18，可得ρ=±6，进而得到点A，B的极坐标．
（2）由曲线C₁的极坐标方程ρ²cos2θ=18化为ρ²（cos²θ-sin²θ）=18，即可得到普通方程为x²-y²=18．将直线$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$代入x²-y²=8，整理得${t}^{2}+4\sqrt{3}t-28=0$．进而得到|MN|．

解答解：（1）θ=$\frac{π}{6}$，代入ρ²cos2θ=18，可得ρ=±6，
∴A，B两点的极坐标分别为（6，$\frac{π}{6}$），（-6，$\frac{π}{6}$）；
（2）曲线C₁的极坐标方程为ρ²cos2θ=18，化为ρ²（cos²θ-sin²θ）=18，
得到直角坐标方程为x²-y²=18，
直线$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$代入x²-y²=18，
整理得${t}^{2}+4\sqrt{3}t-28=0$．
∴|MN|=$\sqrt{（-4\sqrt{3}）^{2}-4×（-28）}$=4$\sqrt{10}$．

点评本题考查了极坐标与直角坐标的互化公式、参数方程化为普通方程、弦长公式等基础知识与基本技能方法．

练习册系列答案

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18．

古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10、15、…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16、25、…这样的数称为“正方形数”．从如图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和，下列等式中，符合这一规律的是（　　）

19．对[25，55]岁的人群随机抽取n人进行了生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图．

组数	分组	低碳族的人数	占本组的频率
第一组	[25，30﹚	120	0.6
第二组	[30，35﹚	195	p
第三组	[35，40﹚	100	0.5
第四组	[40，45﹚	a	0.4
第五组	[45，50﹚	30	0.3
第六组	[50，55]	15	0.3

（Ⅰ）补全频率分布直方图并求n、a、p的值；
（Ⅱ）从年龄段在[40，50）的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在[40，45）岁的概率．

16．已知三条不重合的直线m，n，l和两个不重合的平面α，β，下列命题正确的是（　　）

	A．	若m∥n，n?α，则m∥α		B．	若l∥n，m⊥n，则l∥m
	C．	若l⊥α，m⊥β，且l⊥m，则α⊥β		D．	若α⊥β，α∩β=m，且m⊥n，则n⊥α

3．已知函数f（x）=e^x+lnx+$\frac{a}{x}$，a∈R．
（1）设曲线y=f（x）在x=1处的切线与直线y=ex-1平行，求此切线方程；
（2）当a=0时，令函数g（x）=f（x）-$\frac{1}{2b}$x²-e^x（b∈R，b≠0），求函数g（x）在定义域内的极值点；
（3）令h（x）=f（x）-e^x，?x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂，都有h（x₁）-h（x₂）＜x₂-x₁成立，求a的取值范围．

13．

20．在△ABC中，点D满足$\overrightarrow{BC}$=3$\overrightarrow{BD}$，则（　　）

A．

$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$

B．

$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$

C．

$\overrightarrow{AD}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$

D．

$\overrightarrow{AD}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$

9．已知函数f（x）=ax+lnx，x∈（1，e）．
（1）当a=-$\frac{1}{2}$时，求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）有极值，求实数a的取值范围．

10．

某市文化部门为了了解本市市民对当地地方戏曲是否喜爱，从15-65岁的人群中随机抽样了n人，得到如下的统计表和频率分布直方图．
（Ⅰ）写出其中的a、b、n及x和y的值；
（Ⅱ）若从第1，2，3组回答喜欢地方戏曲的人中用分层抽样的方法抽取6人，求这三组每组分别抽取多少人？
（Ⅲ）在（Ⅱ）抽取的6人中随机抽取2人，用X表示其中是第3组的人数，求X的分布列和期望．

组号	分组	喜爱人数	喜爱人数占本组的频率
第1组	[15，25）	a	0.10
第2组	[25，35）	b	0.20
第3组	[35，45）	6	0.40
第4组	[45，55）	12	0.60
第5组	[55，65）	20	0.80

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