题目内容
10．
某市文化部门为了了解本市市民对当地地方戏曲是否喜爱，从15-65岁的人群中随机抽样了n人，得到如下的统计表和频率分布直方图．（Ⅰ）写出其中的a、b、n及x和y的值；
（Ⅱ）若从第1，2，3组回答喜欢地方戏曲的人中用分层抽样的方法抽取6人，求这三组每组分别抽取多少人？
（Ⅲ）在（Ⅱ）抽取的6人中随机抽取2人，用X表示其中是第3组的人数，求X的分布列和期望．
| 组号 | 分组 | 喜爱人数 | 喜爱人数占本组的频率 |
| 第1组 | [15，25） | a | 0.10 |
| 第2组 | [25，35） | b | 0.20 |
| 第3组 | [35，45） | 6 | 0.40 |
| 第4组 | [45，55） | 12 | 0.60 |
| 第5组 | [55，65） | 20 | 0.80 |
分析 （Ⅰ）由表可知第3、4组的人数，再根据频率分布直方图知第1、2组的人数，
计算抽样总数和第5组的人数，从而求出a、b、n及x和y的值；
（Ⅱ）利用分层抽样原理求出第1、2、3组应抽取的人数；
（Ⅲ）根据题意知X的可能取值，计算对应的概率值，
写出X的分布列，计算数学期望值．
解答 解：（Ⅰ）由表可知第3组的人数为$\frac{6}{0.40}$=15，
第4组的人数为$\frac{12}{0.60}$=20，
再根据频率分布直方图可知第1组、第2组的人数都为20，
且抽样总数为 $n=\frac{20}{0.02×10}=100$，
所以第5组的人数为100-20-20-15-20=25；
∴a=0.1×20=2，b=20×0.20=4；
$x=\frac{{\frac{15}{100}}}{10}=0.015$，.$y=\frac{{\frac{25}{100}}}{10}=0.025$；…（4分）
（Ⅱ）因为第1，2，3组喜欢地方戏曲的人数比为2：4：6，
用分层抽样法从这三组中抽取6人，
第1组应抽取1人，第2组应抽取2人，第3组应抽取3人；
（Ⅲ）根据题意，X的可能取值是0，1，2，
∴$P（X=0）=\frac{C_3^2}{C_6^2}=\frac{1}{5}$，
$P（X=1）=\frac{C_3^1C_3^1}{C_6^2}=\frac{3}{5}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{1}{5}$；
∴X的分布列为
| X | 0 | 1 | 2 |
| P | $\frac{1}{5}$ | $\frac{3}{5}$ | $\frac{1}{5}$ |
点评 本题考查了频率分布直方图与离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是综合题．
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