Question

k为何值时，直线l:y-1=k(x-1)能垂直平分抛物线y²=x的某一条弦？

Answer 1

解析：设直线l垂直平分抛物线的弦AB，且A(x₁,y₁),B(x₂,y₂).则y₁²=x₁,y₂²=x₂,两式相减，得(y₁-y₂)(y₁+y₂)=x₁-x₂,即-.

又设M（x₀,y₀）是弦AB的中点，

则y₀=.

∵M在直线l上，∴x₀=.

又∵M在抛物线的内部，即y₀²＜x₀,

∴(-)²＜-,即＜0，

即k(k+2)(k²-2k+2)＜0,解得-2＜k＜0.故满足条件的k为-2＜k＜0.