Question

已知抛物线C的方程为：y²=4x，直线l过（-2，1）且斜率为k≥0，当k为何值时，直线l与抛物线C（1）只有一个公共点，（2）有两个公共点．

Answer 1

分析：（1）当k=0时，直线l的方程为y=1，此时直线l与抛物线C只有一个公共点．k＞0时，直线l的方程为y-1=k（x+2），当直线l与抛物线相切时，直线l与抛物线C只有一个公共点．把直线的方程与抛物线的方程联立得到一元二次方程，利用△=0即可得出．
（2）k＞0时，把直线的方程与抛物线的方程联立得到一元二次方程，利用△＞且k≠0即可得出．

解答：解：（1）当k=0时，直线l的方程为y=1，与抛物线C的方程联立

y=1 y2=4x

，解得(

1

4

，1)，此时直线l与抛物线C只有一个公共点．
k＞0时，直线l的方程为y-1=k（x+2），联立

y-1=k(x+2) y2=4x

，化为k²x²+（4k²+2k-4）x+（2k+1）²=0，
当直线l与抛物线相切时，△=（4k²+2k-4）²-4k²（2k+1）²=0，化为2k²+k-1=0，解得k=-1或

1

2

．
即当k=-1或

1

2

时，直线l与抛物线C只有一个公共点．
综上可知：当k=0，-1或

1

2

时，直线l与抛物线C只有一个公共点．
（2）k＞0时，直线l的方程为y-1=k（x+2），联立

y-1=k(x+2) y2=4x

，化为k²x²+（4k²+2k-4）x+（2k+1）²=0，
当直线l与抛物线相交时，△=（4k²+2k-4）²-4k²（2k+1）²＞0，化为2k²+k-1＜0，解得-1＜k＜

1

2

．
故当-1＜k＜

1

2

且k≠0时，直线l与抛物线相交于两个交点．

点评：本题考查了直线与抛物线相切与相交的位置关系转化为方程联立得到一元二次方程的判别式与0的大小关系解决，属于难题．