Question

【题目】已知函数 ．

（1）若，求曲线在处切线的斜率；

（2）求的单调区间；

（3）设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围．

Answer 1

【答案】解：(Ⅰ)由已知，……………………………………………………（2分）

.

故曲线在处切线的斜率为.…………………………………（4分）

(Ⅱ).……………………………………………………（5分）

①当时，由于，故，

所以，的单调递增区间为.………………………………………（6分）

②当时，由，得.

在区间上，，在区间上，

所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.………（8分）

（Ⅲ）由已知，转化为.…………………………………………………（9分）

……………………………………………………………………………（10分）

由(Ⅱ)知，当时，在上单调递增，值域为，故不符合题意.

(或者举出反例：存在，故不符合题意.)……………………（11分）

当时，在上单调递增，在上单调递减，

故的极大值即为最大值，，…………（13分）

所以，

解得. ………………………………………………………………………（14分）

【解析】

本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。

（1）利用导数的几何意义求解切线方程关键是切点坐标和该点的导数值。

（2）求解定义域和导数，利用导数的正负与函数单调性的关系得到结论。

（3）由已知，转化为.

由(Ⅱ)知，当a0时，f(x)在x>0上单调递增，值域为R，故不符合题意.

当a<0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减，

故f(x)的极大值即为最大值，进而得到。

解(Ⅰ)由已知，

.

曲线在处切线的斜率为.

(Ⅱ).

①当时，由于，故，

所以，的单调递增区间为.

②当时，由，得.

在区间上，，在区间上，

所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.

（Ⅲ）由已知，转化为.

由(Ⅱ)知，当时，在上单调递增，值域为，故不符合题意.

(或者举出反例：存在，故不符合题意.)

当时，在上单调递增，在上单调递减，

故的极大值即为最大值，，

所以，

解得.