Question

（2010•唐山二模）定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=-f(x)，当0≤x≤1时，f(x)=-|x-

1

2

|+

1

2

，则f(

5

2

)-f(

99

2

)=（　　）

• A．1
• B．0
• C．

  1

  2

• D．-

  1

  2

Answer 1

分析：先根据f（x+1）=-f（x）求出函数的周期性，以及-1≤x≤0时的解析式，然后将f(

5

2

)-f(

99

2

)求函数值问题转化为在[-1，1]上的函数值，最后根据周期性即可求出所求．

解答：解：∵f（x+1）=-f（x），
∴f（x+2）=-f（x+1）=f（x）则T=2
∵当0≤x≤1时f(x)=-|x-

1

2

|+

1

2

且当x=-

1

2

时，f(-

1

2

)=- f( -

1

2

+1)=-f(

1

2

)，
而函数f（x）是以2为周期的周期函数
∴f(

5

2

)-f(

99

2

)=f(2+

1

2

)-f(50-

1

2

)=f(

1

2

)-f(-

1

2

)=2f(

1

2

)=2(-|

1

2

-

1

2

|+

1

2

)=1
故选A．

点评：本题主要考查函数的周期性和递推关系，这类题往往是奇偶性和周期性结合来转化求值区间，属于中档题．