Question

已知函数f（x）=sin2x-cos²x+sin²x．
（Ⅰ）求f(

π

4

)的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期；
（III）当x∈[0，

π

2

]时，求f（x）的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接代入

π

4

，即可求f(

π

4

)的值；
（Ⅱ）利用二倍角公式与两角差的正弦函数化简函数的表达式，直接利用周期公式，求函数f（x）的最小正周期；
（III）当x∈[0，

π

2

]时，求出2x-

π

4

的范围，然后求出sin(2x-

π

4

)∈[-

2

2

，1]，即可求f（x）的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）f(

π

4

)=sin

π

2

-cos2

π

4

+sin2

π

4

=1-

1

2

+

1

2

=1．（4分）
（Ⅱ）f（x）=sin2x-cos²x+sin²x=sin2x-（cos²x-sin²x）=sin2x-cos2x（5分）
=

2

sin(2x-

π

4

)．（7分）
T=

2π

ω

=

2π

2

=π．（8分）
（III）因为x∈[0，

π

2

]，
所以2x-

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]．（9分）
则sin(2x-

π

4

)∈[-

2

2

，1]．（11分）
则

2

sin(2x-

π

4

)∈[-1，

2

]．
即 f（x）的取值范围是[-1，

2

]．（12分）

点评：本题是中档题，考查三角函数的化简，周期的求法两角差的正弦函数的应用，三角函数的最值的求法，考查计算能力，常考题型．