题目内容
已知向量
=（cosα，sinα），
=（cosβ，sinβ），
=（-1，0）．
（1）求向量
+
的长度的最大值；
（2）设α=
，且
⊥（
+
），求cosβ的值．
| a |
| b |
| c |
（1）求向量
| b |
| c |
（2）设α=
| π |
| 4 |
| a |
| b |
| c |
（1）
+
=（cosβ-1，sinβ），则
|
+
|2=（cosβ-1）2+sin2β=2（1-cosβ）．
∵-1≤cosβ≤1，
∴0≤|
+
|2≤4，即0≤|
+
|≤2．
当cosβ=-1时，有|b+c|=2，
所以向量
+
的长度的最大值为2．
（2）由（1）可得
+
=（cosβ-1，sinβ），
•（
+
）=cosαcosβ+sinαsinβ-cosα=cos（α-β）-cosα．
∵
⊥（
+
），
∴
•（
+
）=0，即cos（α-β）=cosα．
由α=
，得cos（
-β）=cos
，
即β-
=2kπ±
（k∈Z），
∴β=2kπ+
或β=2kπ，k∈Z，于是cosβ=0或cosβ=1．
| b |
| c |
|
| b |
| c |
∵-1≤cosβ≤1，
∴0≤|
| b |
| c |
| b |
| c |
当cosβ=-1时，有|b+c|=2，
所以向量
| b |
| c |
（2）由（1）可得
| b |
| c |
| a |
| b |
| c |
∵
| a |
| b |
| c |
∴
| a |
| b |
| c |
由α=
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
即β-
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
∴β=2kπ+
| π |
| 2 |
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