题目内容

已知数列{a_n}满足 $数学公式$ （n∈N^*）．
（Ⅰ）若a₁≠2，求证数列{a_n-2}是等比数列；
（Ⅱ）若数列{a_n}是等差数列， $数学公式$ ，求数列{b_n}的前n项和S_n．

（Ⅰ）证明：由 $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$ ，
∵a₁≠2，∴a₁-2≠0，∴ $\text{[math]}$
所以{a_n-2}是以a₁-2为首项， $\text{[math]}$ 为公比的等比数列．------------------------------（5分）
（Ⅱ）解：由 $\text{[math]}$ ，及 $\text{[math]}$ ，
两式相减，得 $\text{[math]}$ ．
又{a_n}是等差数列，于是a_n+1-a_n=a_n-a_n-1=d，
所以 $\text{[math]}$ ，解得d=0，
于是a_n=a₁，代入 $\text{[math]}$ 得a₁=2，于是a_n=2（n∈N^*）．---------------（9分）
∴ $\text{[math]}$ ，
于是 $\text{[math]}$ ．-----------------------（12分）
分析：（Ⅰ）由 $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$ ，进而可得 $\text{[math]}$ ，即可证得结论；
（Ⅱ）由 $\text{[math]}$ ，及 $\text{[math]}$ ，两式相减，得 $\text{[math]}$ ，利用{a_n}是等差数列，可得d=0，从而可得数列的通项，进而可求数列的和．
点评：本题考查数列递推式，考查等比数列的证明，考查数列的求和，确定数列的通项是关键．