Question

（本小题满分12分）如图，在正三棱柱中，分别是的中点,．

（Ⅰ）在棱上是否存在点使？如果存在，试确定它的位置；如果不存在，请说明理由；
（Ⅱ）求截面与底面所成锐二面角的正切值；
（Ⅲ）求点到截面的距离．

Answer 1

（Ⅰ）存在且为的中点
（Ⅱ）
（Ⅲ）

解法一：（Ⅰ）存在且为的中点，连接,
∵分别是的中点, ∴．          （3分）
（Ⅱ）延长与的延长线交于，连接，
则为截面与底面所成二面角的棱，
取的中点，连,则．

∵,∴为的中点．
由题设得,且,
作于,则,连,
又,
由三垂线定理可知，
∴为截面与底面所成的锐二面角．                              （6分）
在中，,∴．       　 （8分）
（Ⅲ）在中,得，
在中,得,
由，
，解得，即到截面距离为．   （12分）
解法二：（Ⅱ）如图，以为坐标原点，
的方向分别作为轴的正方向建立空间直角坐标系,

则
；
∵分别是
的中点，∴,
,；
设平面的法向量为，
由得，
解得，取得；
又平面的一个法向量为,                               （6分）
设截面与底面所成锐二面角为，
则，
∴，得．
故截面与底面所成锐二面角的正切值为2．  （8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知平面的一个法向量为，；
设点到截面的距离为，
由向量的投影得，
故点到截面的距离为．                                    （12分）