题目内容
在三棱锥
中，
是边长为
的正三角形，平面
平面
，
，
、
分别为
、
的中点，（1）证明：
；（2）求二面角
的大小；（3）求点
到平面
的距离．arctan2
，
，．解：（Ⅰ）取AC中点D，连结SD、DB.
∵SA=SC，AB=BC，∴AC⊥SD且AC⊥BD，∴AC⊥平面SDB，又SB
平面SDB，
∴AC⊥SB.
（Ⅱ）∵AC⊥平面SDB，AC平面ABC，∴平面SDB⊥平面ABC.
过N作NE⊥BD于E，NE⊥平面ABC，
过E作EF⊥CM于F，连结NF，
则NF⊥CM.
∴∠NFE为二面角N－CM－B的平面角.
∵平面SAC⊥平面ABC，SD⊥AC，∴SD⊥平面ABC.
又∵NE⊥平面ABC，∴NE∥SD.
∵SN=NB，∴NE=
SD=
=
=，且ED=EB.
在正△ABC中，由平几知识可求得EF=
MB=，在Rt△NEF中，tan∠NFE=
=2，∴二面角N—CM—B的大小是arctan2
（Ⅲ）在Rt△NEF中，NF=
=
，
∴S△CMN=CM·NF=
，S△CMB=BM·CM=2.
设点B到平面CMN的距离为h，
∵VB-CMN=VN-CMB，NE⊥平面CMB，∴
S△CMN·h=S△CMB·NE，
∴h=
=.即点B到平面CMN的距离为
∵SA=SC，AB=BC，∴AC⊥SD且AC⊥BD，∴AC⊥平面SDB，又SB平面SDB，∴AC⊥SB.
（Ⅱ）∵AC⊥平面SDB，AC
平面ABC，∴平面SDB⊥平面ABC.过N作NE⊥BD于E，NE⊥平面ABC，
过E作EF⊥CM于F，连结NF，
则NF⊥CM.
∴∠NFE为二面角N－CM－B的平面角.
∵平面SAC⊥平面ABC，SD⊥AC，∴SD⊥平面ABC.
又∵NE⊥平面ABC，∴NE∥SD.
∵SN=NB，∴NE=
SD===，且ED=EB.在正△ABC中，由平几知识可求得EF=
MB=，在Rt△NEF中，tan∠NFE==2，∴二面角N—CM—B的大小是arctan2（Ⅲ）在Rt△NEF中，NF=
=，∴S△CMN=
CM·NF=，S△CMB=BM·CM=2.设点B到平面CMN的距离为h，
∵VB-CMN=VN-CMB，NE⊥平面CMB，∴
S△CMN·h=S△CMB·NE，∴h=
=.即点B到平面CMN的距离为
练习册系列答案
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B
平面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA
中，
，
是棱
上的动点，
是
中点，
，
．
平面
；
的大小是
，求
的长．
1D1中，底面ABCD是梯形BC∥AD，∠DAB＝90°，AB＝BB1＝4，BC＝3，AD＝5，AE＝3，F、G分别为CD、C1D1的中点．
中，
，直线
与平面
成
角；
平面
；
的正弦值.
中，
分别是
的中点,
．
上是否存在点
使
？如果存在，试确定它的位置；如果不存在，请说明理由；
与底面
所成锐二面角的正切值；
到截面
，
．
中，
，
，
为
的中点，
为
上的一点，
．
为异面直线
的公垂线；
的大小．
、
是两条异面直线，
是