Question

7．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的三个顶点B₁（0，-b），B₂（0，b），A（a，0），焦点F（c，0），且B₁F⊥AB₂，则椭圆的离心率为$\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$．

Answer 1

分析 利用已知条件列出方程，通过椭圆的几何量的关系求解椭圆的离心率即可．

解答 解：椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的三个顶点B₁（0，-b），B₂（0，b），A（a，0），焦点F（c，0），且B₁F⊥AB₂，
可得：$\overrightarrow{{B}_{1}F}•\overrightarrow{A{B}_{2}}$=0，即b²=ac，即a²-c²-ac=0，
可得e²+e-1=0，e∈（0，1），
解得e=$\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$．
故答案为：$\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．