Question

2．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{2}$|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{2}$|$\overrightarrow{b}$|，则向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$夹角的余弦值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• B． -$\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． 0
• D． 1

Answer 1

分析 由题意可得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0$，即$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{b}$，再由已知|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|，可得向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$夹角为$\frac{π}{4}$，夹角的余弦值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

解答 解：由|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{2}$|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{2}$|$\overrightarrow{b}$|，得：
$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）^{2}=2|\overrightarrow{a}{|}^{2}=2|\overrightarrow{b}{|}^{2}$，即$|\overrightarrow{a}{|}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+|\overrightarrow{b}{|}^{2}=2|\overrightarrow{a}{|}^{2}=2|\overrightarrow{b}{|}^{2}$，
解得：$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0$，
∵|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|，且$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{b}$，
∴向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$夹角为$\frac{π}{4}$，夹角的余弦值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故选：A．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，关键是对数量积公式的记忆与运用，是基础题．