Question

【题目】现有一段长度为的木棍，希望将其锯成尽可能多的小段，要求每一小段的长度都是整数，并且任何一个时刻，当前最长的一段都严格小于当前最短的一段长度的2倍，记对符合条件时的最多小段数为，则（ ）。

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】AC

【解析】

当时最多可锯成三段：7=3+4=3+2+2，所以，选项A正确，B不正确；若时，最多能锯成6段，具体构造如下：30=12+18=12+10+8=6+6+10+8=6+6+5+5+8=6+6+5+5+4+4.

下证大于6段是不可能成立的.

若可以锯成7段，设为（其中），显然.如果，则，而，矛盾.因此，或6.

当时，只能是6+4+4+4+4+4+4，退一步必出现6+4=10，或4+4=8，8与4共同出现在等式中，由题意知这是不可能的，矛盾.

同理，当时，所有情况为5+5+4+4+4+4+4，或5+5+5+4+4+4+3，或5+5+5+5+4+3+3.

针对以上情形采取还原的方法都可得出矛盾.

综上，时最多能锯成6段，即，所以选项C正确，选项D不正确.