Question

【题目】圆周上分布着2002 个点，现将它们任意地染成白色或黑色，如果从某一点开始，依任一方向绕圆周运动到任一点，所经过的（包括该点本身）白点总数恒大于黑点总数，则称该点为好点.为确保圆周上至少有一个好点，试求所染黑点数目的最大值.

Answer 1

【答案】667

【解析】

由题意知，好点必为白色.以下讨论一般情形：即圆周上有个点，把它们黑、白染色，仅当黑点的个数时，才能保证一定有好点存在.

对用数学归纳法进行证明，

1.当时，圆周上共有4 个点，黑、白染色为一个黑点和三个白点，在三个相连的白点中取居中的一个白点，易知它为好点，故当时结论正确.

2. 设当时命题成立.那么，当时，在个黑点中任取一个黑点记为，在的两旁分别取与相距最近的白点记为、，把这三点从这圆周上暂时拿掉，则在圆周上只剩下个点，其中有个黑点.由归纳假设，在此个点中必有一个好点，记为（白点）.然后再把三点放回到圆周上得到个点.

现证明仍为好点.

事实上，由于为白点，则点必在弧外，因而从点沿圆周上的点到达（或）内的点时（不含点），白点总数与黑点总数之差比原差还要大1，从而到达点时，白点总数与黑点总数之差必大于0，即说明仍为好点，故时， 结论成立.

另一方面，当黑点的总数为时，确有一种黑、白染色使得好点不存在：因个黑点将圆周分为个小弧段，再将剩下的个白点放入个小弧段中去，使得每个孤段上不多于2 个白点，这总是可以做到的，此种染法就不存在好点.

，

∴为确保好点存在，所染黑点的总数≤667.

综上所述，所染黑点数目的最大值为667.