Question

10．已知{a_n}是等比数列，其中a₁，a₈是关于x的方程x²-2xsinα-$\sqrt{3}$sinα=0的两根，且（a₁+a₈）²=2a₃a₆+6，则锐角α的值为（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{4}$
• C． $\frac{π}{3}$
• D． $\frac{5π}{12}$

Answer 1

分析 利用一元二次方程的根与系数的关系、等比数列的性质、三角函数求值即可得出．

解答 解：∵a₁，a₈是关于x的方程x²-2xsinα-$\sqrt{3}$sinα=0的两根，
∴a₁•a₈=-$\sqrt{3}$sinα，a₁+a₈=2sinα，
∵（a₁+a₈）²=2a₃a₆+6，
∴4sin²α=2×（-$\sqrt{3}$sinα）+6，
即2sin²α+$\sqrt{3}$sinα-3=0，α为锐角．
∴sinα=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$α=\frac{π}{3}$．
故选：C．

点评 本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、等比数列的性质、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．