题目内容
已知函数f（x）=
-2
cos2x+
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）当x∈[-
，
]时，求f（x）的值域；
（3）若f（x）=
，且x∈[
，
]，求cos2x的值．
| sin2x+2sin2x |
| 1+tanx |
| 3 |
| 3 |
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）当x∈[-
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
（3）若f（x）=
| 2 |
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
分析：（1）由题意，
，可得函数f（x）的定义域；
（2）化简函数，再整体思维，即可求f（x）的值域；
（3）由f（x）=
，得sin（2x-
）=
，从而可求cos（2x-
）=
，利用cos2x=cos[（2x-
）+
]，即可求得结论．
|
（2）化简函数，再整体思维，即可求f（x）的值域；
（3）由f（x）=
| 2 |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| π |
| 3 |
2
| ||
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
解答：解：（1）由题意，
，解得
（k∈Z），
∴函数f（x）的定义域为{x|x≠kπ-
或x≠kπ+
，（k∈Z）}；
（2）f（x）=
-2
cos2x+
=
-
(2cos2x-1)
=sin2x-
cos2x=2sin（2x-
），
∵x∈[-
，
]，
∴2x-
∈[-
，
]，
∴sin（2x-
）∈[-1，
]，
∴f（x）的值域为[-2，
]；
（3）由f（x）=
，得sin（2x-
）=
，
∵x∈[
，
]，
∴2x-
∈[0，
]，
∴cos（2x-
）=
，
∴cos2x=cos[（2x-
）+
]=cos（2x-
）cos
-sin（2x-
）sin
=
．
|
|
∴函数f（x）的定义域为{x|x≠kπ-
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
（2）f（x）=
| sin2x+2sin2x |
| 1+tanx |
| 3 |
| 3 |
| 2sinx(sinx+cosx) | ||
|
| 3 |
=sin2x-
| 3 |
| π |
| 3 |
∵x∈[-
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
∴2x-
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| π |
| 3 |
∴sin（2x-
| π |
| 3 |
| ||
| 2 |
∴f（x）的值域为[-2，
| 3 |
（3）由f（x）=
| 2 |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
∵x∈[
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
∴2x-
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
∴cos（2x-
| π |
| 3 |
2
| ||
| 3 |
∴cos2x=cos[（2x-
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
2
| ||||
| 6 |
点评：本题考查三角函数的化简，考查角的变换，考查学生 的计算能力，正确化简函数是关键．
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